As equações diferenciais modelam inúmeros problemas em diferentes áreas. No ramo da física elétrica, encontram-se aplicações dessas equações para alguns tipos de circuitos elétricos, envolvendo os seus componentes: Resistência, Indutores e Capacitores.
Resistência (representada por R), como o próprio nome sugere, é a dificuldade à passagem de corrente elétrica. Isso acontece devido a colisões de muitos elétrons na passagem de corrente pelo condutor, resistindo ao deslocamento.
Capacitores e Indutores são componentes dependentes de corrente e de tensão presentes em um circuito, assim como os resistores, porém ao invés de limitar a energia, estes elementos são capazes de absorver e fornecer a mesma. Isto ocorre porque a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser associados como os resistores.
Os Capacitores são os componentes que armazenam energia na forma de campo elétrico e é constituído por dois condutores separados por um material isolante. Para esse tipo de elemento, mede-se a capacitância (que tem como unidade de medida o Farad – F) que relaciona a tensão entre os seus terminais com a carga armazenada.
Os Indutores armazenam energia na forma de campo magnético, quando por ele, é atravessada corrente. É um componente elétrico constituído por espiras de um fio condutor enroladas em torno de um núcleo magnético. O parâmetro utilizado para este tipo de elemento é a indutância (representado por Henry – H).
Um físico alemão, chamado Kirchhoff desenvolveu leis que nos permitem entender muitas situações em circuitos elétricos, desde como funcionam determinados componentes, até como resolver alguns problemas de falhas em um equipamento.
As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores que incluam fontes dependentes ou não. A segunda lei, chamada de lei das malhas define que em um circuito associado em série, a soma das quedas de tensões nos elementos dependentes (resistor e capacitor ou resistor e indutor) é igual a tensão da fonte, isto é, a tensão da fonte se divide entre todos os consumidores, como expressão a equação (1).
𝑬𝑻 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 + 𝑬𝒏 (1)
Nos circuitos associados em paralelo a tensão é a mesma da fonte para todos os consumidores.
Em um circuito misto, para calcularmos a tensão total do mesmo é necessário que somemos as tensões dos consumidores que estão em série e para se saber a tensão de consumidores que estão em paralelo. Dessa maneira, é só ver com qual consumidor está associado em paralelo e por dedução, sabemos que a tensão será a mesma.
Portanto, os estudos desenvolvidos por Kirchhoff voltados para a eletricidade, tem grande importância no estudo dos circuitos elétricos, pois auxiliam na resolução dos circuitos complexos, complementando a Lei de Pouillet que serve para resolver circuitos simples.
Desse modo, analisaremos dois tipos de circuitos em série: um circuito com um resistor e um capacitor e outro circuito formado por um resistor e um indutor. Estes circuitos são denominados, respetivamente, circuitos RC e RL.
Essa análise, aplicando as leis de Kirchhoff, produz equações diferenciais. As equações diferenciais resultantes dessa análise são de primeira ordem, consequentemente, os circuitos RC e RL são conhecidos como circuitos de primeira ordem.
No circuito RC (resistor-capacitor), a tensão(ddp) surgirá, quando também surgir, entre as placas positivas e negativas de tal capacitor, um campo elétrico. A intensidade de corrente nesse caso, será igual a variação das cargas (positivas e negativas) em relação ao tempo.
Para deduzir a equação das fórmulas correspondentes a carga do capacitor, deve-se considerar um circuito com o capacitor totalmente descarregado, ligado em série a um resistor e a uma fonte de tensão contínua.
Fonte: https://lusoacademia.org/2016/02/23/aplicacao-das-equacoes-diferenciais-em-circuitos-eletricos/
Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:
R = V/I → V = R.I , sendo I = dq/dt
E que a tensão no capacitor é dada por:
q = C/V → V = q/C
Lembrando que a fórmula para um capacitor linear é a seguinte: q = C.V
Onde,
q → Carga; C → Capacitância; Vc → Tensão para o capacitor;
Pelas leis de Kirchhoff, que diz que a soma da queda de tensão no resistor e no capacitor é igual a voltagem, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:
Vr + Vc = E → R.I + q/C = E
R.dq/dt + q/C = E
Sendo,
Vr → Queda de tensão no resistor; Vc → Queda de tensão no capacitor; E → Voltagem da fonte;
Dividindo todos os termos por R, obtém-se:
dq/dt + q/R.C = E/R → Equação Diferencial Linear para a carga.
No circuito RL (resistor-indutor), quando é aplicada uma corrente no indutor, este criará um campo magnético que fará com que a corrente varie em todos os pontos em relação ao tempo e tal variação será igual a queda de tensão neste indutor.
Para deduzir a equação das fórmulas correspondentes a energização do indutor, deve-se considerar um circuito com um indutor totalmente desenergizado, ligado em série a um resistor e a uma fonte de tensão contínua.
Fonte: https://lusoacademia.org/2016/02/23/aplicacao-das-equacoes-diferenciais-em-circuitos-eletricos/
Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:
R = V/I → V = R.I ( 1 ª Lei de Ohm)
E que a tensão no indutor é dada por:
V = L.(di/dt)
Lembrando que a fórmula para a tensão de um indutor linear é a seguinte: Vl = L.I
Onde,
Vl → tensão para indutor linear; L → Indutância; I → Corrente.
Segundo a lei de Kirchhoff, que diz que a soma da queda de tensão no resistor e no indutor é igual a voltagem, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:
Vr + Vl = E → R.I + L.(di/dt) = E
Sendo,
Vr → Queda de tensão para o resistor; Vl→ Queda tensão para indutor linear; E → Voltagem da fonte;
Dividindo todos os termos por L, obtém-se:
(R.I)/L + di/dt = E/L → Equação Diferencial Linear para a corrente.
De forma breve, pode-se dizer, que obtendo o domínio da teoria que envolve as equações diferencias, os fenômenos físicos e mecânicos podem ser entendidos e executados de forma mais visível e exata. Compreende-se que até mesmo as EDOs mais simples são capazes de modelas matematicamente situações reais.
O conhecimento das equações diferenciais ordinárias para solucionar as leis de Kirchhoff e chegar a uma fórmula especifica para as situações em que se trata de circuitos elétricos é de extrema importância, pois a sua aplicação nessa área é imprescindível. Dessa forma, conclui-se que as EDOs modelam esse fenômeno físico, assim como outros vários fenômenos do nosso cotidiano, principalmente no campo da engenharia e também no das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo de tais equações.
